Numere și semne #3
La ce se gîndesc numerele raționale?
E deja un laitmotiv: fracțiile, la fel ca numerele naturale și cele întregi, au apărut din necesități imediate ale oamenilor, din cele mai vechi timpuri, căci, la fel ca enumerarea și scăderea, împărțirea este o operație cu care ne întîlnim, practic, peste tot.
În termenii abstracți ai matematicii moderne (adică pătrunsă tot mai mult de rigoare și axiomatizare din secolul al XIX-lea încoace), operația de împărțire este procedeul invers celui de înmulțire. Altfel spus, orice număr se poate obține prin înmulțire cu 1, deci trebuie să putem să ne și întoarcem la 1, prin înmulțire cu inversul numărului respectiv. Această ultimă procedură este chiar împărțirea cu numărul respectiv. De exemplu, de la 1 la 3 ajungem prin înmulțire cu 3, iar înapoi la 1 ajungem prin înmulțire cu ⅓, adică împărțire la 3.
Dar, oricît de importantă este ideea de abstractizare și de axiomatizare în matematică, cred că nu aceasta este abordarea potrivită aici. În plus, cînd vorbim despre împărțire, cu toții ne gîndim exact la ce arată cuvîntul: la părțile unui obiect, căci îm-părți-rea înseamnă luarea părților, divizarea obiectului în părți egale sau proporții. Or această idee precedă cu mult metodele axiomatice riguroase ale secolului al XIX-lea și o găsim încă de la babilonieni și egipteni, iar apoi, a înflorit la greci.
Credințe populare și simetrie
Mitologia egipteană vorbește despre ochiul zeului Horus, distrus în lupta cu Seth, care i l-a făcut bucăți. Înțelepciunea populară ne spune că fragmentele nu au fost aleatorii, ci se legau de o fracție căreia egiptenii îi dădeau mare importanță: jumătatea, adică ½. Porțiunile ochiului lui Horus erau puteri ale jumătății, adică jumătatea (½), sfertul (¼), optimea (⅛), șaisprezecimea (1/16), treizecidoimea (1/32) și șaizecipătrimea (1/64). Tocmai pentru că ochiul a fost spart în aceste fracțiuni, iar egiptenii lucrau foarte bine cu operații cu astfel de fracții, el a putut fi reconstruit, cu ajutorul lui Thoth — zeul lunii, al învățării și al scrierii, conform mitologiei.
Și în Grecia antică, fracțiile fac parte din mitologia și credințele populare, dar apar și în matematică. Mai precis, în geometrie și aritmetică, prin ideea de proporție, însă pe o cale care astăzi surprinde. Conceptul de simetrie se pare că provine din această perioadă, precum arată etimologia: sym + metron înseamnă aceeași măsură. Nu este vorba despre ceea ce astăzi se cheamă congruență (în geometrie) sau egalitate (în algebră), adică despre cantități sau figuri identice, ci despre proporții considerate armonioase. În termeni moderni, simetria însemna comensurabilitate, relație stabilită între numere „de același fel“ sau cu același ordin de mărime. De exemplu, o minge de baschet și una de fotbal au diametrele și masele comensurabile, dar nu și o minge de baschet și Soarele sau un bob de mazăre. În plus, pe lîngă ideea de a fi măsurabile cu aceleași unități, grecii acordau atenție deosebită și relațiilor parte-întreg, deci proporțiilor simple, precum jumătatea, treimea, pătrimea etc. O trimitere matematică sofisticată este problema trisecțiunii unghiului, prin care se cere să se împartă un unghi dat în trei părți egale (ca măsură). Soluția cerută trebuia exprimată prin construcții cu rigla negradată și compasul, cum era cazul multor probleme de geometrie propuse de greci. Problema e mult mai complicată decît pare și, abia în 1837 s-a demonstrat că, în general, este imposibil de rezolvat.
Tot grecii, prin Pitagora, foloseau ideea de fracție (proporție) între numere naturale, cu aplicații în muzică. Într-un limbaj modern, numerotăm pozițiile unor note într-o gamă, să zicem Do major: 1 = Do, 2 = Re, 3 = Mi, 4 = Fa, 5 = Sol, 6 = La, 7 = Si și octava 8 = Do din nou. Pentru fiecare gamă, există perechi sau combinații mai numeroase de note care „sună bine“ împreună (consonant), precum și perechi care „sună rău“ (disonant). Astăzi, le numim intervale și, de exemplu, combinația dintre 1 și 3 (Do și Mi) se cheamă terță, care este un interval consonant. Unul disonant este format din 1 și 2 (Do și Re), numit secundă.
Printre artele și disciplinele pe care Pitagora le-a impus discipolilor săi se aflau aritmetica și muzica, aceasta din urmă descrisă și cu ajutorul fracțiilor, folosind ideea de mai sus (dar, desigur, exprimată într-o formă primitivă). Pitagora favoriza intervalele de cvintă (1-5) și cele de octavă (1-8), iar fizica modernă arată că notele care se află în aceste intervale au raportul frecvențelor ⅔, respectiv ½.
De astfel de învățături se leagă ideea de armonie, una dintre valorile fundamentale apreciate de Pitagora și discipoli. În muzică, armonia este dată de două sau mai multe note care sună bine împreună. De aici, ideea generală, prin care armonia înseamnă o combinație bine aleasă, încît să producă un efect benefic, frumos, util. Efectul era chiar măsurabil, prin intermediul fracțiilor, adică al proporțiilor.
Și mai spectaculos este că fracțiile, ca obiecte matematice, dar și din punctul de vedere al calculelor implicate, purtau un nume puternic în istoria ideilor: logos.
Rațiune, rațional, rație
Numerele scrise sub formă de fracție se prezintă în două moduri: fracții ordinare (precum ½, ⅓, ⅔ etc.) și fracții zecimale (ca 0,5 sau 2,71356). Scrierile sînt echivalente, pentru că orice fracție ordinară se poate scrie zecimal și reciproc (½ = 0,5). Fracțiile alcătuiesc mulțimea numerelor raționale, care conține mulțimea numerelor întregi, fiindcă, de pildă, -2 se poate scrie ca -2/1 sau -4/2, iar 5 = 5/1 = 10/2 = 20/4 etc. Rezultă că mulțimea numerelor raționale extinde pe cea a numerelor întregi. Notația universală pentru mulțimea numerelor raționale este litera Q, stilizată sub forma ℚ, de la cuvîntul englezesc quotient și cel german Quotient, care înseamnă raport, fracție.
Dar iată o dilemă pentru orice curios al vocabularului: Ce legătură există între numerele raționale și… ființele raționale? Cu alte cuvinte, de ce să numim un număr rațional? Are ceva în comun cu rațiunea, etimologic sau semantic vorbind? Răspunsul este că, atît cuvîntul grecesc logos, cît și cel latinesc folosit pentru traducerea lui, ratio, sînt polisemantice și înseamnă, simultan, gîndire și împărțire sau, mai general, calcul. Așadar, încă de la origini, a fost ales un cuvînt care să aibă mai multe sensuri.
Poate că simpla alegere istorică pare un argument nesatisfăcător. Dar gîndiți-vă la subtilitățile acestei legături, inclusiv și la faptul că în limba română (și nu numai), avem mai multe cuvinte care se leagă atît de gîndire, cît și de calcul. De exemplu, spunem de o persoană că este calculată sau socotită atunci cînd se gîndește bine înainte să acționeze. La fel, a nesocoti un ordin sau îndemn înseamnă a-l încălca, fără a lua în calcul consecințele. Apare, deci, naturală asocierea între gîndire și calcul (inclusiv al fracțiilor) și, dacă mai adăugăm că în istorie, matematicienii erau înțelepții popoarelor, alături de cei care practicau filosofia științei, putem spune că erau, simultan, gînditori și… socotiți.
Însă mai este un cuvînt din aceeași familie: rație. Îl folosim, de obicei, cu sensul de „porție“, dar cum se obține o astfel de cotă parte? Prin împărțirea unei cantități, a unui întreg. Similar, raționalizarea care s-ar impune în perioade de criză înseamnă o împărțire bine calculată, astfel încît să se maximizeze utilitatea.
Putem comenta asupra faptului că un calcul nu înseamnă neapărat o fracție, deci un gînditor, un socotitor, ar opera și cu alte tehnici algebrice. Dar — și aici mă avînt într-o speculație — țineți seama de faptul că mulțimea numerelor raționale, deci a fracțiilor, include și pe cea a numerelor naturale, și pe cea a numerelor întregi. Astfel că, dacă numerele naturale au facilitat enumerarea, adunarea și înmulțirea, cele întregi au permis scăderea, iar cele raționale, împărțirea, rezultă că mulțimea numerelor raționale permite toate tipurile de calcule de pînă la ea. În consecință, cine lucrează cu fracții, automat operează și cu celelalte tipuri de numere (naturale și întregi), precum și cu toate cele patru operații aritmetice fundamentale: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.
Nu poate fi, deci, accidentală alegerea unui cuvînt polisemantic pentru gîndire în general și operații matematice. În plus, faptul că această relație a supraviețuit și chiar s-a îmbogățit în limbile mai multor popoare arată importanța pe care o acordau strămoșii noștri ambelor procese. Cu siguranță gîndirea nu înseamnă exclusiv matematică, însă la fel de adevărat este și că, mai mult sau mai puțin direct, prin abstractul la care ne invită, matematica este o componentă fundamentală a gîndirii umane.
Odată ce am ajuns la mulțimea care permite toate cele patru operații aritmetice fundamentale, călătoria nu se încheie, căci nu toate numerele pot fi scrise sub formă de fracție. Și nu pentru orice număr există un altul comensurabil cu el. Sună abstract, dar această surpriză a fost descoperită, se zice, tocmai în perioada în care Pitagora își aduna supușii, cărora le vorbea despre muzică și armonia sunetelor bine alese. Căci primul număr irațional se poate găsi din cel mai simplu exemplu de utilizare a teoremei atribuite lui Pitagora: un pătrat.
Contrar așteptărilor, numerele iraționale nu sînt uneltele celor care nu gîndesc; dimpotrivă, mulțimea lor a deschis calea către matematica modernă în adevăratul sens al cuvîntului, încît ne va impune un salt tocmai în secolul al XIX-lea, pe care îl vom face data viitoare.