Numere și semne #1
Naturale și necesare
Lumea calitativă
Imaginează-ți o lume fără numere; o lume în care nu am măsura, nu am cîntări, nu am numerota sau enumera. (Deja din vocabular observi cîte cuvinte ne leagă de numeric.) Ce-ar rămîne? Calitativul. Ai putea vedea sau simți că, din două cantități, undeva e mai mult și dincolo mai puțin, dar n-ai putea spune cu cît. Însăși ideea de a cuantifica nu ar exista. Ai măsura totul comparativ, punînd în balanță față de altceva. Dar cum rămîne cu toate celelalte mărimi numerice, pe care nu le folosești comparativ (sau cel puțin nu conștient)? Timpul și distanța ar deveni noțiuni abstracte, pe care nu le-ai putea evalua decît odată parcurse. Ai vedea de cîte ori poți păși între două locuri și abia apoi ai afla distanța, dar nu ai putea-o exprima cantitativ — ți-ar rămîne ca o impresie, ai făcut „niște“ pași, mai mulți sau mai puțini decît spre un alt loc. Deja sîntem pe punctul de a face o redescoperire: prin comparația cu un etalon, o unitate de măsură (pasul, de exemplu), refacem istoria apariției numerelor naturale.
Cînd omul primitiv mergea la vînătoare, putea să-și dea seama care este turma mai mică, pe care ar putea-o ataca. Nu trebuia să știe cîte animale sînt în ea, ci, dacă vedea două turme, „din ochi“ (calitativ) înțelegea diferența dintre „mai mult“ și „mai puțin“. Ajuns acasă cu vînatul, cresta cîte un semn pe scoarța copacului pentru fiecare animal răpus. Din nou, nu avea nevoie să le știe numărul: pentru fiecare animal, o crestătură și invers.
Dar, odată cu dezvoltarea agriculturii și apoi a schimburilor de tip comercial, evidența nu mai putea fi doar calitativă. Iar comparațiile unu la unu între crestături și obiectele pe care le reprezentau deveniseră incomode. În plus, în schimburi comerciale, legăturile nu erau tot timpul de unu la unu. Timpul trebuia măsurat și el precis, fiindcă de el depindea recolta, iar producția și chiar însuși terenul cultivat erau la fel de legate de precizie. (Ca fapt divers, se spune că egiptenii au dezvoltat atît de bine geometria — inclusiv teorema lui Pitagora, cu mult înaintea misteriosului grec — pentru că fluxul Nilului le inunda periodic terenurile agricole, care trebuiau redistribuite de îndată ce se retrăgeau apele.)
Din perioada babiloniană ne-au rămas vase ceramice care conțin un fel de jetoane, iar pe exterior sînt însemnate numere. Arheologii au concluzionat că ele aparțineau ciobanilor primitivi, iar jetoanele și inscripțiile îi ajutau să țină corect evidența animalelor date în grijă.
Pe scurt, apariția numerelor era inevitabilă în istorie, într-atît încît să spunem că ele nu au un inventator sau descoperitor. Trecerea de la „mai mult“ la măsurarea propriu-zisă a fost cerută imperios de multe dezvoltări naturale în istoria omenirii.
Așa stînd lucrurile, primele numere folositoare oamenilor au fost cele care apar în enumerare, deci în măsurători față de un etalon: 3 picioare, 51 pietricele, 2 urși ș.a.m.d. Sînt numerele pe care astăzi le numim naturale, tocmai pentru că arată cantități vizibile în natură. Dar ele pot fi numite așa și pentru naturalețea cu care apar în înțelegerea noastră, ca parte esențială în raportarea la natură.
În cartea “The Language Instinct”, cercetătorul canadian Steven Pinker argumentează că limbajul — nu neapărat în sens verbal — este un instinct uman. Chiar în lipsa educației și intervenției părinților, copiii ar începe să comunice, să manifeste o formă a limbajului. În ce privește număratul sau, mai general, înțelegerea numericului, lucrurile nu stau la fel, deși se poate argumenta că și utilizarea, implicită sau explicită a numerelor, datează din zorii omenirii. Însă, se pare, această istorie nu a fost suficientă. Utilizarea numerelor nu a lăsat urme în codul nostru genetic și copiii trebuie învățați să numere.
Și totuși…
Instinctul numărului
În anii ‘90, cercetătoarea canadiană Karen Wynn a demonstrat că, în jurul vîrstei de 4-5 luni, copiii au un simț al numărului și chiar un fel de capacitate aritmetică. Ea a folosit în experimente conceptul de „timp de fixare“, prin care se analizează reacția copilului față de nou și se determină dacă ceea ce vede este perceput ca o surpriză sau nu. Dacă un copil privește îndelung o imagine, putem concluziona că o percepe drept nouă: fie nu a mai văzut-o vreodată, fie avea alte așteptări. În ambele cazuri, se poate spune că experiența anterioară a copilului, atît cît este ea de limitată, nu îl ajută să înțeleagă ce vede acum.
Aranjamentul experimental propus de Wynn a folosit copii cu vîrsta medie de aproximativ 5 luni, pe care i-a adus în laborator împreună cu mamele lor și le-a dat timp suficient să se acomodeze cu împrejurările. Apoi, pe un fel de scenă de teatru de păpuși, copiii au urmărit venind două personaje (păpuși). Din nou, lucrurile s-au petrecut lent, iar copiii s-au putut obișnui cu noutățile. Mai departe, a căzut o cortină și, foarte evident, cineva a introdus mîna, cu care a scos din scenă o păpușă. Cortina s-a ridicat, iar copiii au putut vedea rezultatul. Dar experimentul a fost organizat astfel încît în unele cazuri să reapară o păpușă (cum ar fi normal), iar în altele, două, sfidînd aritmetica (și fizica). Acesta a fost „experimentul 2-1“, în timp ce alți copii au participat la „experimentul 1+1“: o păpușă apărea inițial, cortina cădea, o mînă părea că mai aduce o păpușă, iar la ridicare, apăreau fie o păpușă, fie două.
În ambele experimente, judecînd după timpul de fixare, Wynn a constatat surpriza copiilor în cazurile greșite aritmetic. Ei priveau cu mai multă atenție, încercînd să înțeleagă cum de s-a produs ceva atît de neașteptat.
Experimentul a fost reluat după cîțiva ani, într-o variantă modificată, de T. J. Simon et al. Echipa a folosit o metodologie similară, dar de data aceasta, identitatea obiectelor (a păpușilor) a fost o nouă variabilă. Cercetătorii au folosit două păpuși Muppets cunoscute, Ernie și Elmo, și, pe lîngă situațiile imposibile aritmetic (și fizic), au creat și surprize din punctul de vedere al identității. Au schimbat, așadar, în spatele cortinei păpușile și copiii au putut vedea situații precum:
2 Ernie - 1 Ernie = 1 Ernie (corect din punctul de vedere al aritmeticii și identității)
2 Ernie - 1 Ernie = 1 Elmo (corect aritmetic, nu și identitar)
Rezultatele au arătat că identitatea introduce, într-adevăr, un nou punct de interes, dar timpul de fixare cel mai mare rămîne în cazurile imposibile aritmetic, indiferent de identitate.
Concluzia cea mai naturală este că și la vîrste de nici 5 luni, copiii au un simț elementar al cantității, adică al numericului. Nu putem extrapola foarte mult, dar este neîndoielnic faptul că un astfel de simț există, mai ales că la această vîrstă, copiii nu puteau vorbi. Așadar, este vorba despre un simț al numărului independent de cel al vorbirii. Iar conform unui studiu recent prezentat în revista Scientific American, vorbirea nu împiedică funcționarea gîndirii, mai ales dacă admitem că un astfel de simț aritmetic elementar ar fi înnăscut.
Și totuși…
Natura numerelor
Chiar apar „în natură“ numerele naturale?
Unii filosofi susțin că, dacă vedem vreun număr în lumea din jurul nostru (iar acest „dacă“ este însoțit de o seamă de argumente și contraargumente), acela nu poate fi decît 1. Orice raportare la numeric se face, așadar, tot în forma primitivă, pe baza etalonului. Ba chiar mai mult, discuția nu este doar teoretică, abstractă și filosofică. Lingvistul american George Lakoff, împreună cu colegul său, psihologul Rafael Nuñez, au arătat la începutul anilor 2000 că modelul de învățare pe baza comparației cu unitatea, cu etalonul, explică înțelegerea mai multor concepte matematice, în special aritmetice. De exemplu, expresia „5 metri“ declanșează în mințile noastre o imagine în care parcă vedem rigla de 1 metru cum se așază consecutiv de 5 ori pentru a obține distanța respectivă.
Astfel de teorii cognitive sînt în plină cercetare și putem spera la o înțelegere mai bună a mecanismelor prin care percepem numerele — începînd cu numerele naturale — pe parcurs ce înțelegem creierul și imagistica cerebrală progresează. Alte cercetări recente, de exemplu, se ocupă de modul în care putem înțelege nimicul — adică pe zero. El este un număr natural, ca și 1, 2 sau 3, dar pentru că reprezintă „nimicul“ și mai ales din cauza dificultăților pe care le introduce în calcule aritmetice (înmulțirea cu zero, împărțirea la zero și chiar adunarea ori scăderea lui zero produc rezultate pentru care aritmetica a trebuit să se adapteze).
Numerele naturale, indiferent de statutul lor fizic sau metafizic, sînt primul pas spre cuantificarea naturii. Nu putem vorbi despre „cantitativ“ fără ele. Iar o lume percepută exclusiv calitativ ne-ar lăsa să o cunoaștem mult mai puțin. De fapt, chiar dacă nu am vorbi despre eforturile oamenilor de a matematiza natura, încercînd, deci, să o cunoască prin numere și ecuații, tot am ajunge la necesitatea numerelor. Poate nu întîmplător se spune despre Creator că ar fi matematician; spațiul și timpul înseși, probabil singurele concepte față de care nu putem fi ignoranți, ni se arată sub formă de numere.
Dacă în articolul anterior v-am propus un experiment de fizică aproape imposibil, cred că și efortul de a imagina o lume fără numere este cel puțin la fel de dificil. Mă refer, evident, la înțelegerea noastră, la reprezentare în propriile minți și la comunicare. Sigur că Universul este perfect ignorant față de limbajul și metodele noastre de a-l percepe. Dar singurul punct de vedere pe care îl putem avea, cel uman, arată că numericul și mai ales numerele naturale sînt necesare.
Odată apărute, numerele naturale au fost folosite în toate formele matematicii, începînd cu aritmetica și geometria. Dacă aceasta din urmă se bazează pe figuri cu lungimi și alte măsuri vizibile, aritmetica permite libertatea operațiilor fără sens „natural“. Încă din primele secole ale omenirii, babilonienii, apoi egiptenii, chinezii și grecii s-au lovit de aceeași problemă: putem înțelege fracțiunile unui întreg, dar ce înseamnă să iei o parte prea mare din unul? Cum de permit legile aritmeticii o scădere a unui număr mai mare dintr-unul mic și la ce bun?
Numerele întregi sînt răspunsul și despre ele vă voi scrie data viitoare.