Numere și semne
O istorie calculată a mulțimilor de numere
Te întîlnești cu un extraterestru prietenos, care vorbește românește și vrea să cunoască lumea. Nu să-i fii ghid turistic — vrea să cunoască lumea noastră fizică și afli că nici cu cea abstractă nu se înțelege prea bine. Nu știi unde a trăit pînă acum, așa că nu poți folosi comparații sau pur și simplu să-i arăți cu degetul, să gesticulezi și să te aștepți să înțeleagă. Experimentul cere să presupui că extraterestrul nu are absolut nicio experiență anterioară comună cu oamenii, dar, să zicem, puteți comunica verbal.
Este o variantă a unui exercițiu de gîndire pe care l-a propus fizicianul american Richard Feynman (1918-1988). Ideea provocării este să te gîndești la definițiile obiectelor, la descrieri abstracte, independente, care să nu ceară cunoștințe anterioare sau să necesite clarificări ulterioare. Să cauți, așadar, explicații complete, ireductibile, care să cuprindă esența obiectelor.
Provocarea este teribil de grea. O minge, un butoi, Soarele, un computer ș.a.m.d. sînt ușor de definit, fiindcă poți să explici utilizările, chiar dacă nu asta înseamnă o definiție. Dar sarcina devine extrem de complicată tocmai cînd ajungi la obiecte atît de simple, încît nici nu te-ai gîndit vreodată că ar necesita o definiție, ca și cum ai avea o înțelegere înnăscută asupra lor. Și poate că așa și este, dar iată cît de mult contează Universul în care trăim și, mai ales, planeta și specia de care aparținem — detalii pe care cu toții le luăm ca atare. Cînd te-ai gîndit ultima dată la cum ar arăta o lume născută pe altă planetă, cu altă alcătuire fizică, alt sistem de gîndire și cum te-ai raporta la o astfel de lume?
Feynman propune, pentru început, să definim direcțiile. Cum explici unui extraterestru ce înseamnă „sus“, „jos“, „stînga“ și „dreapta“, cînd nu poți fi sigur nici pe faptul că inima lui este în stînga, picioarele sînt în jos față de ochi1, capul se lasă pe spate și îți permite să privești în sus, iar dreapta este… pe aceeași orizontală cu stînga, dar în direcția opusă? Ignoră pentru moment dificultăți suplimentare, care ar cere să explici ce este inima, picioarele și celelalte părți ale corpului, precum și conceptul de „(direcție) orizontală“. Am dat doar primele exemple ale unor concepte pe care nu ne putem baza, dar și probleme care apar atunci cînd nu ne exprimăm suficient de general, de abstract.
Ca matematician, s-ar crede că sînt obișnuit să folosesc pretinsul caracter de universalitate, de absolut al gîndirii logice. Dar provocarea încă mi se pare incredibil de grea, dacă nu imposibilă — deși e un exercițiu cu care îți poți ocupa mintea mult și bine. Cu cît mai simple sau abstracte sînt obiectele, cu atît mai complicată e sarcina. Poate că nu degeaba matematica și științele naturii se bazează pe axiome, principii, postulate — afirmații și obiecte pe care pur și simplu le luăm de bune; sînt atomii și regulile jocului pe care le memorăm și le acceptăm fără comentarii, apoi învățăm să le folosim.
Totuși: cît de bine cunoști și înțelegi un concept pe care îl folosești (aproape) zilnic și ți-a devenit atît de familiar încît ești convins că îl folosești perfect, dar nu îl poți defini? Am dat, cu o altă ocazie, exemplu simetriei: știi ce înseamnă că un obiect este (a)simetric, dar dacă ar trebui să definești simetria ca atare, prin cuvinte și concepte ireductibile, parcă nu mai e la fel de ușor.
Îți propun un alt exemplu. Ce este un număr? Nu cred că există cineva care să nu știe ce înseamnă cuvîntul sau să nu folosească numere aproape zilnic. Sînt realmente inevitabile: te trezești la o anumită oră, împlinești o vîrstă, îți numeri pașii, atent și la ritmul cardiac, plătești sau încasezi, iei un tramvai sau te uiți pe indicatoarele de pe bordul mașinii, înțelegi instantaneu cînd e „mult“ sau „puțin“ ceea ce vezi… Și totuși: ce este un număr? Nu numărul de telefon, nu cifra, nu cinci, nu al treilea, nu simbolul 3; numărul, ca atare — ce este? Insist pentru că e ușor de văzut că avem numeroase (!) exemple, dar definiția generală scapă. Ți-a fost ușor să-ți înveți copilul să numere și să socotească, fiindcă trăiește în aceeași lume ca și tine. Cum explici ce este un număr cuiva care nu a mai văzut, rostit sau folosit niciodată cuvîntul sau conceptul pe care îl denumește?
Întrebarea abstractă conduce la multe probleme și se adresează mai degrabă filosofilor decît matematicienilor sau oamenilor de știință. Și chiar dacă știi ce este un număr — sau cel puțin, știi să folosești cuvîntul și conceptul —, cred că delimitarea tipurilor de numere nu e la îndemîna oricui. Deosebești numerele pozitive de cele negative, pe cele întregi poate le numești „exacte“, iar pe cele raționale, „cu virgulă“. Dar în afară de acestea, există și alte tipuri de numere. Mai mult decît atît, voi argumenta că fiecare tip are cel puțin cîte o aplicație relevantă nu doar în științe sau măcar îți voi oferi cîteva informații care să te pună pe gînduri. E drept, oricît mi-ar plăcea, probabil nu voi fi în stare să te conving că numerele complexe sau cuaternionii trebuie să fie pe lista scurtă de concepte cu care să te împrietenești, pentru că îți vor trebui mîine în bucătărie. Dar, în același timp, am încredere că te-ai abonat și citești acest newsletter nu (doar) ca să afli despre matematica practică.
Așadar: urmează o serie de articole în care să înțelegem tipurile de numere, într-un format deja cunoscut. Vom vedea istoria lor, cum au apărut și de ce a fost nevoie de încă un tip de numere, principalele aplicații, nu doar în matematică, pentru ca la final să atacăm ceva mai bine informați întrebarea inițială: Ce sînt numerele? Pe parcurs, întrebarea va căpăta noi înțelesuri și conceptul pe care crezi că-l cunoști își va arăta fațete nebănuite, încît vom fi îndreptățiți să gîndim neîncrezători „dacă și astea mai sînt numere…“.
Tipurile sau, mai bine zis matematic, mulțimile de numere sînt deosebit de variate. Nu aș exagera dacă aș spune că oricine își poate crea încă una sau mai multe. Însă istoria ideilor le reține pe acelea care s-au arătat folositoare pentru cît mai multe probleme, relevante de-a lungul secolelor sau chiar mileniilor. Așa că mă voi opri doar la cele mai întîlnite mulțimi de numere: naturale, întregi, raționale, reale și complexe, încheind cu o privire în abis, spre numerele hipercomplexe și alte generalizări. Voi aminti doar în treacăt de numerele suprareale, cardinale și ordinale, octonioni, sedenioni ș.a.m.d. Ținta este ca textele din serie să fie accesibile, cu preliminarii cel mult la nivelul primului an de liceu, de aceea inclusiv exemplele și aplicațiile propuse vor fi dintre cele mai populare. Însă voi reveni bucuros asupra exemplelor mai complicate dacă este cazul — fie pentru clarificare, fie pentru aprofundare. Trebuie doar să-mi scrii, în comentarii sau prin email.
Ideea seriei pornește de la cursul personalizat pe care îl organizăm, de introducere în istoria și filosofia matematicii. În articolele ce vor urma, voi schița concepte de istoria și filosofia celor mai importante mulțimi de numere, iar la curs, insist asupra numerelor reale și mai ales, a conceptelor de infinit și continuitate, care se leagă în mod esențial de ele. Vezi portofoliul complet de cursuri și înscrie-te aici.
Acestea fiind scrise, în ediția următoare vei citi despre mulțimea numerelor naturale. Cele mai simple și la îndemînă, dar cu atît mai mult provocarea va fi să găsesc informații și aplicații pe care nu le știai.
Dacă te gîndești că poți face astfel de presupuneri, că te uiți la el și-ți dai seama, cu aproximație, ce organe are și unde sînt, îți pot complica exercițiul. Imaginează-ți că vorbești cu extraterestrul la un fel de telefon. Sau că este atît de complicată alcătuirea lui, încît ar trebui mai întîi să-i ceri lui să se descrie sau să ajungi să-l cunoști îndeaproape, cum ne povestește Andy Weir în Project Hail Mary. Apropo, dincolo de tema SF și acțiunea plasată în mare parte în spațiu, cartea este o lectură pe care o recomand în primul rînd pentru interacțiunea dintre personajul principal, fizicianul Ryland Grace, și extraterestrul Rocky, prin care ajung să se cunoască treptat.