În numărul anterior, v-am propus provocarea îndrăzneață de a ne gîndi la o lume fără numere. E drept, exercițiul de imaginație este cel puțin dificil, dar nu fără meritele sale. O posibilă abordare ar fi să ne întrebăm, din moment ce am ajuns, totuși, să fim chiar dependenți de numere, cum s-a ajuns aici, procedural vorbind și ce s-a întîmplat într-o timp cît mai apropiat de origini? Altfel spus, din moment ce cu siguranță a existat o perioadă fără numere în istoria omenirii, cum arăta ea și care au fost pașii concreți care au condus la evoluția către numere.
Pe pagina de Facebook și pe Goodreads, v-am recomandat o carte, care abordează nu istoria matematicii, ci istoria numerelor. De fapt, nici acest termen nu este potrivit: autorul propune o istorie a conceptului de număr, convins fiind că este vorba despre mult mai mult decît istoria matematicii: este istoria umanității. Din primul capitol (în traducerea mea, din engleză):
Numerele au devenit atît de adînc integrate în modul nostru de gîndire, încît par adesea înnăscute, precum mersul ori vorbirea. Dar nu este așa. Numerele aparțin culturii umane, nu naturii, așadar au propria istorie bogată. Pentru Platon, numerele erau cel mai înalt grad al cunoașterii, fiind esența armoniei interioare și exterioare. [Î]n Evul Mediu, pentru Nicolaus Cusanus, numerele erau cele mai bune mijloace de a ne apropia de adevărurile divine. Aceste perspective vin tocmai de la Pitagora, pentru care doar numerele ne permit să vedem natura adevărată a universului.
Adevărul este, totuși, că nu numerele guvernează universul. [E]le nu vin din lucrurile înseși, ci din mintea care studiază lucrurile. De aceea, istoria numerelor este un domeniu profund uman al istoriei noastre.
Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, prima ediție, 1985
Înainte să decidem dacă sîntem de acord sau nu cu autorul, merită să ne gîndim din nou la posibilitatea unei lumi fără numere. Însăși dificultatea acestei întrebări înclină balanța spre necesitatea conceptului.
Și totuși... Evidența obiectelor s-a ținut încă din cele mai vechi timpuri prin crestături și semne uniforme („bețe” în română, scores sau tallies, în engleză). Unul dintre cele mai vechi vestigii ale acestei metode este osul Ishango, descoperit în Congo și datat cu aproximativ 20,000 de ani în urmă. Îl puteți vedea în imaginea de la începutul articolului.
Semnele erau grupate, însă cînd au devenit prea multe, au fost inventate simboluri care să țină loc de diverse multitudini, adică de diverși multipli. Acești multipli au devenit, treptat, bazele de numerație. Cum numărătoarea pe degete, despre care am mai scris, a fost fundamentală și încă este folosită în primii ani de educație, bazele de numerație cel mai des întîlnite au fost multipli de 10 (10, 20 și 60 fiind cele mai cunoscute exemple). Însă noutatea despre care vorbim aici este a corespondenței unu la unu.
Înainte chiar să existe semne convenționale și cuvinte specifice, în ce fel se puteau comunica numerele? Printr-o metodă pe cît de simplă, pe atît de importantă în matematică: corespondența biunivocă, bijectivă sau, mai simplu, unu la unu. Conceptul este, spuneam, foarte simplu: gîndiți-vă la limbajul semnelor. Cînd cineva vrea să cumpere trei obiecte, arată vînzătorului trei degete, de exemplu. Dacă nu ținem cont de evoluția de-a lungul mileniilor care ne-a făcut să asociem automat acum trei obiecte cu numărul și cu cuvîntul „trei”, la baza acestei interacțiuni este premisa că, pentru fiecare deget, cumpărătorul dorește cîte un obiect. Așadar, se realizează o corespondență unu la unu între degetele arătate și obiectele cumpărate[1].
Similar, cu un exercițiu de imaginație, ne putem închipui cum omul preistoric dorea să-și hrănească familia, care avea, să zicem, zece membri, așa că mergea la vînătoare și cules. Să presupunem că fiecare membru al familiei se sătura cu cîte un iepure vînat și un fruct. Capul familiei mergea la vînat și cules cu un os, o scoarță de copac sau un alt material pe care avea zece crestături sau semne. Vîna iepuri și culegea fructe pînă cînd putea să le asocieze unu la unu cu semnele de pe „lista de aprovizionare”. Nu trebuia să știe nici despre numărul zece, nici despre vreun cuvînt specific. De fapt, aceeași procedură ar fi aplicat-o și cînd a alcătuit „lista”: și-ar fi înșiruit membrii familiei și, pentru fiecare dintre ei care îi trecea prin față, făcea cîte un semn.
Desigur că, în varianta aceasta explicită, corespondența unu la unu este foarte laborioasă și exagerat de complicată. În plus, ca facem referire la articolul anterior, ar fi presupus doar existența lui „unu”, repetat de cîte ori este cazul. Însă esența ideii este în exprimarea „pentru fiecare... cîte un/o...”. Aceasta a fost dezvoltată matematic, abstract de-a lungul secolelor și mileniilor, iar astăzi a devenit una dintre cele mai puternice metode matematice. Corespondența nu se mai face explicit, enumerînd efectiv obiectele care corespund, ci cu ajutorul unor reguli. De exemplu, o corespondență între mulțimile {0, 1, 2, 3, 4, 5} și {0, 1, 4, 9, 16, 25} se poate face explicit, asociind 0 cu 0, 1 cu 1, 2 cu 4 etc., dar metoda este limitată la un număr mic de obiecte. Dacă facem legătura printr-o regulă, precum: pentru fiecare număr, i se asociază pătratul său, putem să o extindem la mulțimi cu un număr oricît de mare de elemente. În particular, această metodă se poate folosi și pentru a asocia două mulțimi infinite. Cu exemplul de mai sus, putem demonstra, de pildă, că există „tot atîtea” numere naturale cîte pătrate perfecte. Ghilimelele se impun, întrucît ambele mulțimi — a numerelor naturale și a pătratelor perfecte — sînt infinite. Totuși, între ele există o corespondență biunivocă, adică unu la unu.
Abstract vorbind, pur matematic, obiectele între care există astfel de corespondențe sînt „la fel”; termenul specific este izomorfe, care înseamnă, etimologic, că au aceeași formă. Existența unei astfel de corespondențe între două obiecte le reduce, practic, la unul singur, din punctul de vedere al „tipologiei”, fiecare fiind un fel de copie a celuilalt sau ambele, copii ale aceluiași tip de izomorfism, în terminologia de specialitate.
Ce înseamnă că între două mulțimi nu putem realiza o corespondență unu la unu? Există două posibilități. Să zicem că încercăm să trasăm o astfel de corespondență între mulțimile A și B, adică o regulă (explicită sau implicită) prin care să spunem cum, pentru fiecare element al mulțimii A se asociază cîte un element diferit al mulțimii B. Dacă nu putem realiza corespondența unu la unu, înseamnă că sîntem în unul din cazurile:
Ne rămîn elemente din A cărora nu le mai putem asocia elemente diferite din B, fiindcă acestea din urmă au fost epuizate. În acest caz, înseamnă că elementele din A sînt mai multe decît cele din B.
Invers, dacă ne rămîn elemente din B cărora nu le corespunde niciun element din A, înseamnă că B are mai multe elemente decît A.
Astfel de legături au fost fundamentale în înțelegerea mulțimilor infinite prin eforturile care și-au găsit punctul culminant în secolele XVIII-XIX, prin Georg Cantor, Richard Dedekind, David Hilbert și alții. Mai mult chiar, matematicienii au găsit metode prin care să arate că infinitul are și el „nuanțe”: există mulțimi infinite între care se poate găsi o corespondență unu la unu, dar și altele între care nu se poate găsi una. Spus popular și neriguros matematic, există mulțimi infinite mai mici sau mai mari... Dar despre astfel de curiozități, în articolul următor.
[1] Ca să fim complet riguroși, ar trebui să specificăm că pentru fiecare deget, se asociază cîte un obiect cumpărat diferit. Similar și în exemplele care urmează. Corespondența nu mai este unu la unu dacă un același obiect dintr-o mulțime se leagă de două obiecte diferite din cealaltă mulțime.