Într-un articol recent, am scris despre intuiția numerică și felul în care ne raportăm la numere mari și foarte mari, fie că avem o educație științifică ori matematică, fie că nu. Aici propun o temă și mai ambițioasă, la extrema cealaltă, dintr-un anume punct de vedere. Teza pe care o avansez încă de la început este că totul este număr — numeric, în general. Nu ne trebuie mult să ajungem de la orice fațetă a vieților noastre la numere, adică la cantitativ. Dimineața ne trezim la ora indicată de ceas prin numere și ne organizăm programul tot după evenimente care conțin momentul de timp, exprimat numeric, și locul de desfășurare. Ne pregătim micul dejun și mesele de peste zi ținînd cont de cantități de ingrediente. Planificăm o deplasare și ne documentăm despre distanța de parcurs și intervalul de timp necesar pentru a o străbate — ambele măsurate numeric. Nu mai vorbim de întreaga economie, de la cumpărăturile pe care le facem la chioșcul de la parterul blocului și pînă la analiza financiară a companiilor — cu toate au în comun dependența de numere.
Cum s-a ajuns aici? Lesne de înțeles: din zorii omenirii s-au folosit sisteme care să țină evidența obiectelor și a animalelor prin semne grafice, inițial picturale, apoi convenționale și, în fine, abstracte. Cu sisteme de scriere asemănătoare hieroglifelor, oamenii preistoriei reprezentau turmele de animale și grînele pictural, după care au trecut la liniuțe și alte semne specifice scrierii cuneiforme, pe care le-au grupat, cînd deveneau prea multe, într-un singur semn care să țină loc de număr.
Evoluțiile ulterioare sînt binecunoscute, prin sisteme de numerație bazate pe realități cotidiene, obiecte la îndemînă. Majoritatea popoarelor au dezvoltat sisteme zecimale sau în bază multiplu de cinci cu inspirație de la numărătoarea pe degete (cu siguranță vă este cunoscut faptul că în engleză, cifrele se numesc digits, același cuvînt care desemnează și degetele). Mesopotamienii au ales baza 60 din motive surprinzător de sofisticate care se leagă de fenomene astronomice. În plus, unii cercetători au argumentat că motivul este mult mai subtil și mai complex: babilonienii știau că 60 este un număr care are mulți divizori utili: jumătatea, treimea, sfertul, șesimea și zecimea, calculate din 60, dau împărțiri fără rest, de pildă. Așadar, utilizarea unui astfel de număr atît de bogat din punct de vedere aritmetic drept bază a numerației ar fi putut fi o decizie motivată matematic și pragmatic.
Dar să facem un experiment mintal și să împingem posibilitățile către extrem: vă puteți închipui o lume care să nu folosească numere? Cum ar arăta ea? Credeți că s-ar găsi înlocuitori ai numerelor, cu funcție similară? Cu alte cuvinte, vedeți numerele drept o etapă inevitabilă în evoluția omenirii așa cum o cunoaștem astăzi, încît o lume paralelă care să nu conțină numere este, practic și teoretic, imposibilă? Pînă la urmă, întrebarea se referă la relevanța cantitativului în viețile noastre, spre deosebire de calitativ, estetic și alte caracteristici nemăsurabile ori necuantificabile.
Matematicianul Liviu Ornea, de la Facultatea de Matematică și Informatică a Universității din București, cu care am avut onoarea și bucuria să studiez în timpul masteratului, îmi spunea[1] într-o conversație în timpul liber că în natură, niciun alt număr în afară de zero și unu nu există. Cu alte cuvinte, oamenii sînt clădiți să gîndească binar: fie un obiect există, fie nu există — 1 și 0, adevărul și falsitatea, dacă ar fi să divagăm filosofic. În viziunea profesorului Ornea (teză pe care nu știu dacă o păstrează, însă a formulat-o astfel în conversația amintită, în urmă cu aproape zece ani), ceea ce numim „un număr de obiecte” este, de fapt, o repetare, o mulțime de cópii ale unității. Nu vedem patru mere pe masă, ci patru instanțe ale unui măr. Desigur, fiecare astfel de „copie” are propriile particularități, însă matematic, adică abstract, esențializat, este vorba despre „patru de unu”. Implicațiile și tangentele acestei discuții sînt numeroase, printre care platonismul — credința într-un unic Obiect, ale cărui reprezentări, copii imperfecte, le vedem în jurul nostru, dar nu dăm o turnură chiar atît de specializată discuției. Reținem ideea că se poate argumenta că numerele naturale, altele decît 0 și 1, nu există în natură și este vorba doar de copii ale unității.
Un comentariu imediat poate fi acesta: bine, bine, nu am patru mere pe masă, ci patru copii ale unui măr — dar atunci, la întrebarea „cîte copii?” nu răspundem cu un număr natural mai mare decît unu și atunci contrazicem ipoteza și justificăm, totuși, necesitatea numerelor mai mari decît unu? Două răspunsuri: ar fi exagerat din partea unui matematician să afirme că numerele naturale mai mari decît unu nu sînt justificate — nu aceasta este teza discutată. Argumentul este mult mai subtil: este vorba despre existența fizică, în jurul nostru, a numerelor diferite de (zero și) unu. Faptul că ceea ce în realitatea fizică putem spune că reprezintă patru copii ale lui unu alegem să exprimăm abstract, matematic, prin numărul patru este diferit de a spune că numărul patru există în lumea fizică. Al doilea răspuns este ceva mai tehnic și folosește alte unelte specifice matematicienilor, însă care pot fi înțelese și prin raportare la gramatică: numerele „în sine” sînt diferite de numerele folosite pentru enumerare. Cu alte cuvinte, există numere și numerale, la fel cum în limba română putem spune „patru mere” și „al patrulea măr”. Prima formulare conține numărul patru, în timp ce a doua conține numeralul patru. Și matematic, ele sînt diferite, numindu-se cardinale și ordinale: primele sînt „numerele în sine”, iar cele din a doua categorie sînt folosite pentru enumerare, ordonare. Așadar, pentru a putea spune că pe masă se află patru mere, trebuie să le enumerăm, acțiune care se face cu ajutorul numeralelor: primul măr, al doilea, al treilea, al patrulea. Numai faptul că am ajuns la numeralul al patrulea ne permite să vorbim despre numărul merelor; cu alte cuvinte, numeralul precedă și implică numărul, așadar numărul devine o simplă consecință a unei ordini sau enumerații.
Dacă discuția de pînă aici pare o poliloghie cu iz filosofic și semantic, vă propun un răspuns cu totul diferit la provocarea de la început. Într-un articol și prezentare video de anul trecut, arătam cum „simțul numărului” poate fi considerat înnăscut, adînc înrădăcinat în creierele noastre, încît înțelegerea lumii prin numere pare inevitabilă. Mai multe studii au arătat că astfel de simțuri sînt prezente și la unele animale, iar în acest sens, recomand cartea lui Stanislas Dehaene, The Number Sense, în care cercetătorul expune pe larg rezultatele experimentelor pe care le-a desfășurat pentru a înțelege mai întîi fundamentul fiziologic al „numericului” și apoi, a-i căuta originile. Pe scurt, Dehaene și echipa sa au arătat că încă de la vîrsta de cîteva luni, copiii „intuiesc” nu doar numerele în sine, ci și modificări ale lor. Copiii reacționează sesizabil diferit la un experiment care ilustrează adunări corecte precum 2 + 1 = 3 față de unul care arată rezultate greșite, precum 2 + 1 = 2. Mai mult, rezultatele se păstrează dacă se schimbă obiectele din experiment cu care sînt reprezentate operațiile (niște păpuși, în acest caz). Ar rezulta, deci, că sîntem, într-un fel, programați să gîndim numeric și, spus pretențios, să abstractizăm, prin concentrarea pe cantitate. Întrucît copiii de cîteva luni nu se lasă distrași de culori și forme și extrag informațiile cantitative, înseamnă că simțul numărului a ajuns, într-adevăr, inevitabil.
Criticile ar putea spune că extrapolarea este mult prea îndrăzneață. Faptul că un copil de cîteva luni „înțelege” 2 + 1 = 3 sau 1 + 1 = 2 nu înseamnă că în general, are numărul „în sînge” (în creier, la propriu fie spus). Ceea ce poate fi adevărat. Însă în același timp, nu putem neglija evidența și experiența. Întregul proces de învățare se bazează atît pe construcții care pornesc de la cunoștințe deja acumulate, cît și pe descompunerea reducționistă a unor concepte ample pînă cînd găsim elemente pe care să le știm deja sau cît mai apropiate de acestea. Așa stînd lucrurile, contraargumentul poate fi că experimentele lui Dehaene și ale colaboratorilor săi au arătat un fundament, pe care se construiește, prin metodele de învățare sus-menționate, întreaga înțelegere a numerelor.
Totuși, am văzut multe situații cînd creșterea și educația ulterioară vin tocmai să contracareze anumite instincte și vestigii primitive pe care le păstrează biologia noastră. Cu alte cuvinte, experimentul lui Dehaene nu exclude posibilitatea ca un copil să poată deveni un adult care să nu știe ce sînt numerele. Chiar în articolul pe care l-am menționat mai sus prezentăm cîteva disfuncții neurologice care arată că centrii responsabili de înțelegerea numerelor pot avea comportamente imprevizibile. Dusă ideea la extrem, ne putem închipui o reconectare a lor în așa fel încît numărul să fie doar cel mult un semn pe hîrtie, fără înțeles ori aplicație.
Cum ar arăta lumea atunci? Ce am mai păstra din ce avem acum? Ce ar trebui să reclădim din temelii?
Voi ce părere aveți?
[1] Ideea profesorului Ornea este aceea a inexistenței fizice a altor numere în afară de 0 și 1. Comentariile și discuția care urmează îmi aparțin.