Cînd spui cuiva că ești matematician sau profesor de matematică, aproape invariabil în mintea interlocutorului apare ideea că „ești bun cu cifrele”. Astfel, devine impardonabil să nu poți face operații complicate în minte și te discreditează instantaneu orice greșeală de calcul.
Ca orice prejudecată, însă, adevărul este mai mereu în altă parte. Și tot ca orice prejudecată, originea ei este într-o extrapolare, o generalizare grăbită. Matematica profesionistă, cea pe care o practică cercetătorii adică, este atît de departe de cea pe care o studiem cu toții în școală[1], încît pentru mulți este aproape imposibil de imaginat. Iar matematica din școală, cel puțin din învățămîntul preuniversitar, este bazată aproape exclusiv pe calcule numerice. De aici impresia că matematicienii fac același tip de matematică precum în școală, doar că mult mai grea. Și ce ar putea însemna „(mult) mai grea” decît... lucrul cu numere (mult) mai mari, nu?
Nu-mi propun aici să demontez această idee. Ar însemna să detaliez ce face un matematician profesionist, eventual cu exemple din diverse ramuri de studiu, subiect care, cu toată strădania mea, nu știu cît ar fi de popular. Dacă ați citi, totuși, un astfel de articol sau vă interesează cu ce se ocupă un domeniu anume al matematicii, îmi puteți scrie în comentarii sau prin email și promit să răspund și să revin cu un articol detaliat.
„Numerele și intuiția” din titlul pe care l-am dat articolului se referă la altceva. Da, poate că unii matematicieni profesioniști nu se pricep să opereze rapid cu numere, mici sau mari (cu siguranță este cazul meu), însă educația și pregătirea pe care o avem ne fac, într-un fel, mult mai greu de impresionat, aproape imuni la adevăruri surprinzătoare și contraintuitive. E drept că uneori nici nu ne punem întrebări pe care le-ar adresa un filosof sau cineva ancorat în practic, precum: Ce înseamnă, de fapt, infinitul sau continuitatea? Cîți oameni ar sătura apa dintr-un bazin cubic cu latura de 1 metru? Ce șanse am să cîștig la loto 6/49? Lucrînd atît de des cu abstractul și renunțînd la a mai căuta aplicații practice, se dezvoltă un fel de familiaritate cu obiecte ale gîndirii care, de altfel, sînt realmente impresionante.
Numerele sînt un astfel de exemplu. Dacă într-un (rar) calcul numeric întîlnesc un număr de ordinul 10100, continui fără să clipesc, fără a mă gîndi că ar putea fi vorba despre 10100 secunde, metri, stele, kilograme sau orice obiect concret și ce ar însemna asta „în realitate”.
Ce voi argumenta este că nici nu e nevoie să mergem la ordine de mărime atît de mari pentru surprize impresionante. Iar dacă ajungem, totuși, la astfel de ordine, imaginația este mai mereu copleșită. Ați auzit, probabil, această comparație populară: un milion de secunde înseamnă ceva mai mult de 11 zile. Un miliard de secunde înseamnă... peste 31 de ani! Milionul înseamnă 106, iar miliardul, 109. Realizați, atunci, că 10100, orice ar măsura el, ar fi un număr imposibil de imaginat sau de dat vreun înțeles concret.
Nu am dat chiar întîmplător exemplul 10100; este un număr care poartă porecla de „googol”, cuvînt inventat care stă la baza numelui Google. Fondatorii l-au ales pentru a arăta că pot face ordine și ne pot ajuta să căutăm chiar și prin 10100 pagini web. Apropo, dacă vă întrebați cam cîte pagini web există astăzi, răspunsul este departe de faimosul googol. Nu avem cunoștințe decît despre paginile indexate, adică cele pe care le poate găsi un motor de căutare precum Google, Yahoo, Bing și altele, iar acestea, în 2021, erau în jur de 2 miliarde sau 2 × 109, cu o rată de creștere ca în imagine.
Să „rotunjim” graficul și să presupunem că numărul de site-uri se dublează de la an la an. Atunci googol-ul s-ar obține peste mai bine de 300 de ani!
Iată încă un exemplu, de data aceasta cu un număr... ceva mai mic, dar la fel de contraintuitiv. Am scris pe Facebook săptămîna trecută și explic și aici. Numărul de moduri diferite în care se pot rearanja n obiecte se calculează cu o funcție numită factorial, notată n!, și care înseamnă produsul numerelor naturale de la 1 la n. De exemplu, 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Factorialul este o operație cu o creștere incredibil de rapidă. Așa că punem o întrebare la îndemînă cînd vine vorba de rearanjări: în cîte moduri diferite se pot amesteca cele 52 de cărți de joc dintr-un pachet? Răspunsul: 52!. Valoarea? Ei bine, are ordinul de mărime 1067. E mai puțin decît un googol, dar cum înțelegem, totuși, această valoare, cu ce o comparăm? Se crede că în întreg Universul există 1024 stele. Dacă fiecare dintre aceste stele ar da naștere la cîte un Univers identic, cu cîte 1024 alte stele, abia am ajunge la 1048; deci am mai avea nevoie de încă o „generație”: fiecare dintre stelele proaspăt apărute să mai dea naștere la cîte un Univers. Abia așa am ajunge la 1072 obiecte. Alt termen de comparație: numărul total al oamenilor care au trăit pe planetă se plasează în jurul cifrei de 100 miliarde. Vîrsta Universului se estimează la 13 miliarde de ani. Numărul total de minute dintr-un an este de 525600. Dacă presupunem că au existat oameni și aveau și cărți de joc în prima secundă a Universului și ar fi amestecat fiecare pachetul o dată pe minut pentru toate cele 13 miliarde de ani, ar fi obținut aproximativ 1027 combinații posibile. Deci sînt șanse mari ca, dacă amestecați niște cărți astăzi, combinația pe care o obțineți să nu fi mai văzut vreodată lumina zilei și nici să nu mai fie obținută timp de miliarde de ani.
În fine, un alt exemplu popular și care lucrează cu un număr chiar foarte mic (comparativ cu celelalte de mai sus) se referă la îndoirea unei foi de hîrtie. Luați o foaie de hîrtie, să zicem în format A4, și îndoiți-o pe jumătate. Repetați procedura ori de cîte ori puteți. Credeți că o puteți face de 10 ori? Dar dacă ați avea o foaie, să zicem, de un metru lungime și un metru lățime? Dar dacă ar fi de un kilometru lungime și un kilometru lățime? Gîndiți-vă la propriul răspuns, apoi citiți mai departe.
Problema aici nu este aria (lungimea și lățimea foii), ci grosimea și mai ales, raportul între arie și grosime! O foaie de hîrtie obișnuită are o grosime de aproximativ 0,1 mm, adică o zecime de milimetru. Fiecare îndoitură îi dublează grosimea și îi înjumătățește aria. 10 îndoituri, adică 10 dublări de grosime și înjumătățiri de arie, corespund unui factor de 210, adică 1024. Altfel spus, grosimea se mărește de 1024 ori, iar aria se micșorează de 1024 ori. Dacă folosim grosimea de 0,1 mm, atunci după 10 îndoituri, ea devine 102,4 mm, adică 10,24 centimetri. Nu e mult, dar cînd aria se micșorează de 1024 ori, operația devine, practic, imposibilă. De pildă, o foaie de 1 metru pătrat, după a zecea îndoitură va avea grosimea de 10,24 centimetri cum am spus, la o arie de aproximativ 9,7 centimetri pătrați; practic, aproape un cub cu latura de 10 centimetri. De aceea, este practic imposibil de realizat experimentul fără echipament și condiții speciale[2].
Mai merită făcut un comentariu: 100 de îndoituri vor produce un factor de 2100, care are ordinul de mărime 1030. O comparație: diametrul Universului observabil este aproximativ 1023 kilometri sau 1029 milimetri. Așadar, dacă foaia ar avea o grosime de 1 milimetru, după 100 de îndoituri grosimea ar fi de 10 ori mai mare decît întreg Universul observabil!
Să ne revenim din uimirea cauzată de aceste exemple și să tragem o concluzie. Am început prin a susține că munca majorității matematicienilor profesioniști se depărtează surprinzător de lucrul cu cifre și cu numere. În același timp, abstractul pe care îl manipulăm cu regularitate ne face să nu ne punem prea des întrebări despre interpretări sau aplicații concrete ale calculelor și rezultatelor la care lucrăm. De aceea, m-am oprit în acest articol asupra unor astfel de calcule și am văzut împreună că nu ne trebuie unelte foarte sofisticate pentru a obține numere realmente impresionante. Uimirea, așadar, vine atunci cînd ne gîndim practic, comparativ și chiar intuitiv la ordinele de mărime din astfel de calcule.
Concluzia nu poate fi decît una: mirarea și surprizele pe care ni le produce matematica sînt chiar mai aproape de noi decît teoriile sofisticate și aplicațiile de nivel înalt. Numerele continuă să fascineze, iar dacă strămoșii noștri ar fi plasat numerele cu zeci de cifre în clasa nenumăratului, a nesfîrșitului, deci a infinitului, iată că astăzi putem „atinge”, măcar cu gîndirea, astfel de valori, iar interpretarea lor în concret să ne uimească.
[1] Chiar teoria numerelor, numită și aritmetică, s-a dezvoltat într-o direcție atît de abstractă, încît numerele propriu-zise și cu atît mai puțin cele naturale, sînt apariții rare. Teoria modernă a numerelor folosește algebră, analiză, chiar geometrie și alte unelte... predominant non-numerice. Asta nu înseamnă că domeniul și-a schimbat obiectul de studiu, ci doar că problemele de cercetare sînt atît de dificile, încît chiar dacă pornesc printr-o formulare numerică, demonstrațiile nu se mai pot face cu simple calcule, tot numerice.
[2] Echipa de la Mythbusters a reușit să o facă, dar au lucrat cu echipament special și au lucrat la o scară impresionantă, în stilul caracteristic.