Ierarhia infinitului
Cînd nu ajunge „un infinit”, faci mai multe!
În articolul anterior am promis o discuție despre „mulțimi infinite mai mici sau mai mari”. Fără îndoială că descrierea este contraintuitivă: infinitul este un obiect suprem, pare imposibil să aibă grade de mărime. Și totuși, vom vedea că nu este niciun truc sau ambiguitate la mijloc: folosim înțelesul „mărimii” care se aplică pentru cantități finite și constatăm că, în cazul infinitului, trebuie să existe o ierarhie. Concluzia nu este atît despre faptul că noțiunea de mărime a unei mulțimi (numită tehnic cardinal) ne joacă feste, ci însuși conceptul de infinit.
Dar să începem cu contextul matematic și, în mică măsură, istoric. Istoria infinitului este un subiect care merită dezvoltat în detaliu, întrucît este unul dintre cele mai importante concepte din gîndirea științifică și abstractă, comun matematicii, științelor naturii, dar și filosofiei și istoriei ideilor. În matematică, cel puțin, infinitul este legat în mod esențial de mulțimi, deoarece, precum vom explica imediat, mulțimile discrete și cele continue conduc natural către ideea de infinit. În acest sens, vă propunem un curs personalizat din portofoliul nostru, care să urmărească istoria acestui concept din antichitate și pînă la definitivarea unei prezentări riguroase, în secolele XIX-XX.
În continuare, cîteva idei esențiale care trasează „firul roșu” al înțelegerii conceptului de infinit, culminînd cu ierarhia anunțată.
Actual și potențial
Surprinzător sau nu, civilizațiile antice nu au avut de căutat prea mult pînă să ia contactul cu infinitul. Imensitatea Cerurilor a fost un subiect predilect, generalizat apoi către Univers, despre care o bună parte a filosofilor antichității considerau că este infinit. Unele dintre primele „exemple concrete” s-au legat de substanțe dătătoare de viață, iar filosofi precum Thales din Milet (sec. VI î.e.n.) și poetul Hesiod (sec. VII î.e.n.) scriau despre apă sau aer că ar fi infinite, întrucît orice formă de viață are nevoie de ele și deci, pentru a da naștere întregii vieți de pe Pămînt, dar și întregii biosfere care a existat și va exista vreodată, aerul sau apa trebuie să fie infinite. Lor le urmează Anaximandru din Milet (sec. VI î.e.n.), care aplică o tehnică de abstractizare care nu le era străină filosofilor greci și substantivizează atributul infinit. Anaximandru vorbește, așadar, despre infinitul ca atare, numindu-l apeiron.
La cîteva secole după Anaximandru apare primul salt foarte important în înțelegerea infinitului, prin marele Aristotel (sec. IV î.e.n.). El propune o împărțire a infinitului în infinitul în divizibilitate și infinitul în adunare. Prima categorie înseamnă posibilitatea nesfîrșită de a „tăia” un obiect în părți tot mai mici, iar a doua corespunde înțelegerii comune a infinitului obținut prin „mărire” fără sfîrșit, prin adăugare de părți, componente sau cópii.
O altă categorisire a infinitului, atribuită tot lui Aristotel, este împărțirea între infinitul potențial și cel actual. Primul se referă la conceptul de infinit folosit astăzi predominant în analiza matematică. Spunem că un șir de numere, de pildă, tinde către infinit dacă depășește orice limită superioară am încerca să-i punem. Altfel spus, orice număr am alege ca margine superioară, șirul respectiv mai are cel puțin un termen care depășește marginea. De remarcat faptul că pentru infinitul potențial, tendința este esențială, întrucît conduce la conceptul matematic de limită. Nu este, așadar, o realizare, ci o tendință, o evoluție continuă. De cealaltă parte, infinitul actual este unul care „chiar există”, în sensul că putem indica un astfel de obiect „în întregime”. Exemple tipice includ mulțimi de numere, precum mulțimea numerelor naturale, {0, 1, 2, 3, 4, ...}, a celor întregi, {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} și așa mai departe. Evităm discuții mai profunde privitoare la definiția și construcția acestor mulțimi, care nu poate fi o procedură finită, dar pentru scopul acestui articol este suficient să reținem distincția între infinitul folosit în analiza matematică, o tendință, un potențial, și cel care caracterizează unele mulțimi, o actualitate.
Corespondență
Tot în articolul anterior, am arătat că o metodă matematică prin care se demonstrează că două mulțimi au același număr de elemente este corespondența unu la unu. Cînd elementele a două mulțimi pot fi împerecheate complet, fără să rămînă neutilizate elemente nici din prima mulțime, nici din a doua, nici să fie vreunul folosit de mai multe ori, spunem că mulțimile au același cardinal (număr de elemente). Exact aceeași definiție se păstrează și pentru mulțimi infinite. De pildă, putem face perechi între fiecare număr natural și dublul său, ceea ce înseamnă că mulțimea {0, 1, 2, 3, 4, ...} are „tot atîtea” elemente cît mulțimea {0, 2, 4, 6, 8, ...}, un fapt contraintuitiv, fiindcă în aparență, a doua mulțime are doar „jumătate” din elementele primeia, întrucît nu conține niciun număr impar!
Istoria contemporană a infinitului se leagă fundamental de matematicianul ruso-german Georg Cantor (1845-1918). Biografia lui, ca și biografia intelectuală, merită studiate în profunzime, din foarte multe motive[1]. Unul este simpla întrebare: cum poate ajunge cineva să studieze infinitul ca atare și mai ales, ce fel de probleme pot conduce la ideea că infinitul ar fi „ierarhizat”? Răspunsurile sînt cel puțin surprinzătoare: Cantor nu și-a propus nicio clipă să studieze teoria mulțimilor sau infinitul și a ajuns la ele din probleme aparent fără nicio legătură, probleme care combinau analiza matematică cu trigonometria. Ideea lui remarcabilă a fost să alcătuiască mulțimi din soluțiile la problemele respective și să găsească corespondențe între probleme prin corespondențe între mulțimile de soluții asociate. A observat atunci că, deși două tipuri de probleme conduceau la mulțimi infinite, corespondența nu se putea realiza, una dintre mulțimi, deși infinită, părînd „mai mică” decît cealaltă.
Mai departe, problemele lui Cantor au explodat, nu doar în plan matematic. Educat religios, Cantor asocia infinitul cu divinitatea, ca majoritatea gînditorilor. Așadar, o ierarhie a infinitului (infinituri „mai mici” sau „mai mari”) părea o erezie, nu doar o absurditate matematică. Problemele personale au amplificat această criză și Cantor și-a găsit sfîrșitul măcinat psihic de dificultăți matematice, filosofice și teologice în jurul infinitului. Nu înainte, însă, de a fi demonstrat matematic existența acestor ierarhii, demonstrație care nu i-a adus decît derîdere din partea comunității matematice, din cauza originalității spectaculoase, incredibile chiar. Lipsa de apreciere a fost mîngîiată, totuși, de nume mari precum David Hilbert și Richard Dedekind, care i-au continuat lucrările și au pus bazele riguroase ale teoriei mulțimilor și a infinitului intrinsec.
Hotelul lui Hilbert și Diagonala lui Cantor
În încheiere, două exemple concrete de gîndire abstractă spectaculoasă, din partea lui David Hilbert și Georg Cantor, ambele arătînd surprizele pe care le rezervă infinitul.
Se spune că David Hilbert ar fi construit un argument destul de popular pentru înțelegerea infinitului, pe care îl prezenta oricui încerca să înțeleagă teoria lui Cantor. Eleganța este, într-adevăr, evidentă: să presupunem un hotel cu o infinitate de camere, toate ocupate. Într-o seară, se prezintă un turist la recepție și întreabă dacă mai există o cameră liberă. Persoana de la recepție răspunde afirmativ și-i eliberează camera 1, fără a evacua pe cineva! Cum procedează? Mută fiecare persoană în camera următoare: pe cei din camera 1 îi mută în camera 2, pe cei din camera 2 în camera 3 și așa mai departe. Hotelul avînd o infinitate de camere, e loc mereu în „camera următoare” și, totodată, se eliberează camera 1.
Cea de-a doua demonstrație de eleganță abstractă aparține lui Cantor însuși și demonstrează că numerele reale sînt „mai multe” decît cele naturale, de pildă. Metoda folosește tehnica reducerii la absurd, pe care v-o amintiți, cu siguranță, din școală.
Să presupunem, așadar, că numerele reale sînt „tot atîtea” cîte sînt cele naturale. Pentru simplitate, să luăm doar numerele zecimale mai mici ca 1, deci cele de forma 0,.... Rezultă că le putem lista: primul, al doilea, al treilea, al patrulea ș.a.m.d. Cantor propune să construim un număr nou, astfel: prima sa zecimală să fie prima zecimală a primului număr din listă, a doua să fie a doua zecimală a celui de-al doilea număr și așa mai departe. În finalul procedurii obținem un număr care colectează zecimalele pe diagonală din lista presupusă, dar care nu se găsește în listă, tocmai din modul în care a fost construit! Deci oricum am proceda, mai putem construi cel puțin încă un număr, ceea ce arată că numerele reale nu se pot enumera (lista), deci sînt „mai multe” decît cele naturale!
Dacă v-am deschis curiozitatea pentru abstract și infinit, atît din punct de vedere istoric, cît și filosofic sau matematic, scrieți-ne în comentarii sau prin email la contact[at]poligon-edu.xyz și continuăm bucuroși discuția! De asemenea, vă invităm să răsfoiți și cuprinsul cursului personalizat din portofoliul nostru prin care vă propunem chiar această temă. Personalizarea înseamnă că putem adapta conținuturile cunoștințelor și aspirațiilor dumneavoastră și deci, putem detalia cu precădere noțiunile istorice, pe cele filosofice sau pe cele matematice!
[1] O carte excelentă în acest sens este cea a lui Joseph W. Dauben, cu titlul Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, publicată în 1979.