Ce este matematica?
Trei perspective și o invitație la dialog
Generalitatea întrebării este intimidantă, însă intenția acestui articol nu este un răspuns, în ipoteza că ar exista unul, definitiv și unanim. Ceea ce ne propunem este să privim matematica din cîteva unghiuri, alături de cercetători care au încercat să o plaseze în sfera științelor, a artelor, sau chiar a unui produs cultural.
Alături de filosofie — împreună cu latura sa naturală, evoluată în fizică și alte științe ale naturii — și teologie, istoria ideilor omenirii ne arată că matematica este una dintre primele preocupări ale omenirii. Etimologia cuvîntului este grecescul mathema (μάθημα), care înseamnă generic învățătură. În perioada lui Pitagora (cca. 550 î.e.n.), se spune că maestrul își împărțea discipolii în akousmatikoi, cei care făceau ascultare, răspîndeau înțelepciunea învățaților într-o formă dogmatică, și mathematikoi, cei care puteau participa la dezbateri, care puteau să învețe, dar și să critice ideile mai-marilor. De la Aristotel (cca. 350 î.e.n.) și pînă în preajma secolului al XVIII-lea, matematica a fost privită drept disciplina cantității. Pe parcurs ce studiile deveneau tot mai abstracte, dar și mai moderne, prin introducerea unor obiecte care se îndepărtau tot mai mult de cantitativ, înțelegerea termenului s-a diversificat.
Știință?
Filosoful franco-american Paul Benacerraf a explicat în termeni moderni o problemă veche în ce privește matematica. Cînd vrem să cunoaștem ori să descoperim fenomene ale naturii, le observăm direct sau facem experimente care să impună condiții, provocînd răspunsuri. De exemplu, în experimentele de termodinamică, folosim containere cu gaz aflat la o anumită temperatură, presiune, volum, condiții care pot produce un răspuns în forma unei explozii.
Însă matematica nu funcționează așa; cînd pe masă vedem 3 fructe, mai aducem încă 2 și spunem că avem 5 fructe, nu am realizat un experiment care „demonstrează” ori „simulează” adunarea 3 + 2 = 5. Cel mult, putem spune că am evidențiat o lege naturală a conservării substanței, fiindcă niciun fruct nu a dispărut, nu s-a transformat, nu a apărut din senin.
Pe scurt, știința este considerată de obicei disciplina cunoașterii care se poate testa experimental[1]. Așa stînd lucrurile, discuțiile privitoare la relația între matematică și științele naturii sau, mai general, între matematică și aplicațiile sale, precum și despre modul în care ajungem să cunoaștem matematica, din moment ce ea nu este prezentă în concret, ocupă prim-planul în filosofia științei. În acest sens, una dintre cele mai cunoscute formulări îi aparține fizicianului maghiar Eugene P. Wigner (născut Wigner Jenő Pál). Într-un articol din 1960, cu titlul Eficiența nerezonabilă a matematicii în științele naturii, el concluzionează:
Cultură?
Matematica drept sistem cultural este titlul unei cărți publicate în 1981 de Raymond Louis Wilder — matematician american, specializat ulterior în filosofie și antropologie. Wilder arată că, dacă studiem diverse produse culturale ale omenirii — fondul cultural, în sens general — vom găsi asemănări surprinzătoare cu evoluția matematicii.
Cultura se construiește treptat, evoluează din credințe, păreri, studii, fapte, realități și influențe. Mai întîi, doar cîteva persoane au opinii sau realizează cercetări diverse asupra aceluiași obiect (fizic ori abstract). Cu cît apar mai multe astfel de persoane, care fac și schimb de informații (eventual, unii publică viziunea comună sau proprie), se ajunge treptat către un fel de echilibru, în cadrul căruia opiniile, cercetările, credințele nu mai evoluează semnificativ, chiar dacă nu au încă omogenitate sau unanimitate. Atunci spunem că opiniile, cercetările, considerațiile respective au intrat în cultura grupului alcătuit cel puțin din membrii care le-au formulat ori le susțin. Informațiile se pot și transfera către alte cunoștințe, moștenitori etc., astfel că elementele ce țin de cultura unui grup nu sînt în niciun caz statice. Cu timpul, ele se pot diversifica, îmbogăți, modifica ori chiar dispărea.
Vedem că elementele de cultură nu mai țin de opinia privată a vreunuia dintre membrii comunității și astfel, nu mai sînt influențate de schimbarea unei astfel de opinii. Cu trecerea timpului, elementele culturale capătă un aspect tradițional, alcătuind un fond general de informații acceptate. Aceasta nu înseamnă că fondul cultural nu se mai poate schimba, ci doar că a devenit suficient de robust încît schimbările au loc doar cînd sînt susținute de un număr semnificativ de membri.
Criticii consideră că trăsăturile sus-menționate sînt mai degrabă întîmplătoare, nu esențiale pentru matematică. Totuși, realitatea arată că matematica este creată și practicată de oameni. În contextul culturii, ne putem întreba, comparativ, dacă o poezie scrisă într-un limbaj neînțeles de nimeni sau care nu este citită vreodată de cineva mai se califică drept poezie? Ceea ce probabil Wilder nu anticipa este revoluția tehnologică pe care o traversăm. O întrebare relevantă ar putea fi astăzi dacă teoremele demonstrate de un robot, eventual formulate într-un limbaj formal care să fie propria creație, mai aparțin matematicii? Dar culturii?
Artă?
O simplificare excesivă și vagă, dar care servește scopurilor acestui articol este că arta se ocupă cu frumosul. Creațiile artistice, așadar, au drept rol principal estetica.
Matematicianul britanic Godfrey H. Hardy nu ezita să-și expună crezul de o viață, că matematica practicată de el este „pură”, în sensul că nu există și nu vor exista niciodată aplicații ale ei. În termeni foarte potriviți acestei secțiuni, Hardy făcea matematică de amorul artei. Previzibil, cercetările lui Hardy, predominant în teoria numerelor, și-au găsit aplicații chiar în timpul vieții sale în criptografie, prin geniul călăuzitor al disciplinei și compatriotul său, Alan M. Turing.
În 1940, Hardy, aflat spre apusul carierei, scrie Apologia matematicianului, în care își susține poziția față de matematică. Accentul cade pe explicații ale purității pe care a susținut-o întreaga carieră, dar la fel de remarcabilă este și legătura pe care o stabilește cu artele în general și cu beletristica în particular. În cele 50 de pagini ale eseului, Hardy trasează legături între matematică și aplicațiile sale — un loc special fiind ocupat de cele militare, în contextul vremii —, dar și între matematică și poezie.
Ceea ce facem poate că este mic, dar are un caracter permanent; și să fi produs orice, infim, însă permanent — fie niște versuri, fie o teoremă de geometrie, înseamnă să fi făcut ceva cu adevărat dincolo de puterile marii majorități a oamenilor. [...] În aceste vremuri de conflict între studiile moderne și cele clasice, cu siguranță putem susține un studiu care nu a început nici cu pitagoreicii și nu se va încheia nici cu Einstein — ci este cel mai vechi și cel mai nou dintre toate [, matematica].
Un matematician, asemenea unui pictor sau poet, este un creator de tipare. Dar permanența lor mai pronunțată se datorează faptului că sînt făcute din idei. Pictorul creează tipare din culori și forme, poetul, din cuvinte. O pictură poate reprezenta o idee, dar ideea este de multe ori comună și neesențială. În poezie, ideile contează mult mai mult, dar, așa cum spunea Housman[2], importanța ideilor în poezie este de obicei exagerată: „Nu mă pot obișnui cu gîndul că există așa lucruri precum idei poetice. Poezia nu este lucrul spus, ci modul în care se spune.” [...] Un matematician nu are alt material de lucru decît ideile, deci tiparele sale sînt mai durabile, deoarece ideile pierd mai puțin în exprimare decît cuvintele.
Tiparele matematicianului, precum cele ale pictorului sau poetului, trebuie să fie frumoase; ideile, ca și culorile ori cuvintele, trebuie să se îmbine armonios. Frumusețea este primul test: nu există un loc permanent în lume pentru matematică urîtă. Iar aici trebuie să comentez ceea ce Whitehead[3] a numit „monomania rezervată doar cîtorva excentrici din fiecare generație”. Ar fi destul de greu de găsit un om educat care să fie insensibil la aspectul estetic al matematicii. Poate că e dificil să definești frumusețea matematicii, dar la fel stau lucrurile cu orice fel de frumusețe, iar asta nu ne împiedică să o recunoaștem.
Matematica a mai fost considerată și o limbă, cu sintaxă și semantică specifice, definite ad hoc, folosită pentru a exprima lucruri dintr-o lume specifică. Alții o consideră o poveste, care, cel puțin conform organelor de simț, instrumentelor de măsură și creierului nostru, pare adevărată, în măsura preciziei de care sîntem în stare.
Totodată, am spus deja că epoca roboților și a inteligenței artificiale adaugă noi fațete acestei probleme. Dacă, în plus, aducem în discuție posibilitatea că trăim într-o simulare sau idei precum multiversul, ramificațiile se tot amplifică.
Cum ideea articolului a fost expunerea unor puncte de vedere, dintre cele mai cunoscute, nu ne rămîne decît să încheiem printr-o invitație la dialog: Ce este pentru voi matematica? Este matematica utilă, socială, umană, frumoasă? Dacă da, merită vreuna dintre aceste proprietăți să fie considerată esențială, definitorie?
Scrieți-ne în comentarii sau prin email la contact[at]poligon-edu.xyz
[1] Cu riscul de a încărca și mai mult terminologia, trebuie, totuși, să spunem că există o diferență între experiment și simulare. În general, cercetătorii realizează experimente cînd legile de funcționare nu sînt cunoscute în întregime. Ca urmare, observațiile experimentale conduc la formularea unor teorii noi sau rafinarea celor existente. Simulările sînt precum testele de verificare: avem formulate legile de funcționare și vrem să verificăm dacă într-adevăr natura le respectă. Desigur că simulările se pot transforma în experimente, dacă rezultatele nu sînt cele așteptate.
[2] Alfred Edward Housman, clasicist și poet britanic.
[3] Alfred North Whitehead, matematician și coautor al Principia Mathematica, alături de Bertrand Russell, lucrare fundamentală de logică matematică.